شرح الدالة التآلفية والدالة الخطية

 تقديم

مفهوم الدالة في الرياضيات هي العلاقة التي تعبر عن تطور عامل ما بدلالة عامل آخر ،فمثلا نقول معدل ضربات القلب لدى رجل طبيعي ما بين 60 و 100ضربة في الدقيقة او السيارة تستهلك مثلا 5 لترات من البنزين كل 100 كيلومتر ... وهكذا.

و يرمز للدالة ب f(x) ونكتب f(x)=ax

تعريف

ليكن العدد الحقيقي a 

الدالة الخطية f هي العلاقة التي تربط كل عدد حقيقي x بالعدد الحقيقي ax ،بحيث a هو معامل الدالة و نكتب 

                     f(x)=ax

أمثلة:

• خلال فحص لقلب  انسان عادي في راحة  تم تسجيل معدل 75 ضربة في الدقيقة، يعني خلال دقيقتان يسجل القلب 75×2 نبضة قلب ،و خلال 3 دقائق يسجل القلب 75×3 نبضة قلب ...الخ

اذن العلاقة التي تجمع بين زيادة الدقائق (min) و زيادة نبضات القلب هي الدالة f و نكتب :

     f(min)=min⨯75

• ليكن x عدد حقيقي و f دالة خطية.                                ليكن f(x)=6x احسب f(2),f(8),f(5)

   f(2)=6×2=12    ,    f(8)=6×8=48 ,   f(5)=6×5=30 

• ليكن الدالة الخطية f(x) بحيث f(x)=3x

         حدد العدد الحقيقي x الذي صورته بالدالة الخطية f(x)=15

          اذن لدينا                    f(x)=3x=15

       و بالتالي فإن                  x=15/3=5

• ليكن الدالة الخطية f(x)=ax 

اذا كان f(4)=16، لنحسب معامل الدالة a 

لدينا f(x)=ax   اذن            a=f(x)/x

وبالتالي فإن                   a=16/4=4

التمثيل المبياني للدالة الخطية:

لدينا المعلم الممنضم المتعامد (O,I,J)

ليكن x عدد حقيقي و الدالة الخطية  f(x)=2x  اذن لنحسب f(2),f(4),f(0)

  f(2)=2×2=4           , f(4)=2×4=8      ,f(0)=0 

اذن تمثيل الدالة الخطية هو عبارة عن مستقيم يمر من النقط ذات الاحداثيات (x,f(x)) واصل المعلم  O(0,0). 

في هذه الحالة تمثيل الدالة الخطية هو المستقيم المار من النقط           A(2,4)      ,        B(4,8)         ,     O(0,0)

الدالة التآلفية :

تعريف

ليكن الاعداد الحقيقية  x و b و a.

العلاقة التي تجمع بين العدد الحقيقي x و ax+b بحيث 

     f(x)=ax+b  هي الدالة التآلفية f .

نقول ax+b   هي صورة العدد x بالدالة التآلفية f و a هو معامل الدالة f

امثلة:

• برميل به 6 لترات من الماء، تحت صنبور يصب الماء يمتلىء 2 لتر كل دقيقة اذن نكتب: 

                                    f(min)=2min+6

اذن عند اكتمال الدقيقة الأولى يكون البرميل امتلىء ب 

      f(1)=(2×1)+6=8لتر

عند 2 دقائق يكون بالبرميل 

        f(2)=(2×2)+6=10لتر

عند 10 دقائق يكون بالبرميل 

        f(10)=(2×10)+6=26لتر

• لدينا الدالة التآلفية f(x)=-4x+5 

1.        لنحسب f(3),f(7),f(5) 

     f(3)=-4(3)+6=-6   ,           f(7)=-4(7)+6=-22

      f(5)=-4(5)+6=-14.  

    2.   لنحدد قيمة العدد x الذي صورته بالدالة الخطية f هي 12 اذن لدينا :

    f(x)=-4x+5=12   

         -4x+5=12

           -4x=12-5

           -4x=7

             x=7/4

معامل الدالة التآلفية

ليكن a وx₁ ,x₂ اعداد حقيقية بحيث X₁≠X₂ وليكن الدالة التآلفية f، لدينا : 

f(X₁)=aX₁₊b             f(X₂)=aX₂₊b

   اذن 

 

مثال:

ليكن f دالة تآلفية بحيثf(2)=9و f(3)=13 .

• لنحدد معامل الدالة f

• لنحدد صيغة الدالة التآلفية f .

اذن لدينا معامل الدالة هو 4, اذن نكتب :

            f(x)=4x+b

لنحدد الآن العامل b 

لدينا   

                f(2)=(4×2)+b

 اذن

                9=8+b

و بالتالي فإن.          b=1

و منه فان صيغة الدالة التآلفية هي:

                 f(x)=4x+1 .

التمثيل المبياني للدالة تآلفية

التمثيل المبياني لدالة تآلفية f هو مستقيم يمر من النقط ذات الاحداثيات            A(x₁,f(x₁)) , B(x₂,f(x₂))

مثال:

تمتلك شركة للدقيق في مخزونها 5 مائة طن من الدقيق ،و انتاجها اليومي يبلغ 1 مائة طن ،لنحسب كمية الدقيق المتواجدة في المخزون خلال 2 يوم و 3 يوم.

ليكن الدالة التآلفية f , اذن نكتب

            f(x)=(1×x)+5

           اذن خلال 2 يوم لدينا:

             f(2)=(1×2)+5=7مائة طن

            خلال 3 يوم :

              f(3)=(1×3)+5=8 مائة طن

اذن التمثيل المبياني لهذه الدالة سيكون هو المستقيم المار من النقطتين A(2,7) ,  B(3,8)